La fonction exponentielle est une des fonctions les plus utiles aux mathématiques mais aussi à la vie en général. N'avez-vous jamais entendu parlé de la fameuse "croissance exponentielle" ? Ou encore la "décroissance exponentielle".

Cette fonction repose sur des propriétés un peu complexe mais il y a plusieurs moyen de définir cette fonction c'est à dire qu'on a plusieurs définition qui sont équivalente pour cette fonction.

Je vais donc aborder cette fonction via une définition qui est la plus intuitive lorsqu'on suit une scolarité au lycée (qu'il soit général ou professionnel). Vous n'êtes pas sans vous souvenir de votre année de 4ème avec la fameuse notion de puissance. Je vous en rappelle la notion de base:

Soit n un entier naturel, et a un nombre réel positif, on a l'écriture suivante:
a*a*...*a=aⁿ.


Maintenant que se passerait-il si on allait plus loin ? En effet, si n pouvait être négatif et qu'on considère a non nul par exemple ?

On a: 1/a=a^-1
Donc: (1/a))*...*(1/a)=1/(aⁿ)

si n>0 alors -n<0, Donc a^-n=(a^-1)ⁿ=(1/a)ⁿ=1/(aⁿ)

Donc on a défini, la puissance négative.


Qu'en est-il de la puissance avec des quotients alors ?

Soit un entier p non nul et a>0, on a: a^1/p = ?

On a: a¹= a^p/p = (a^1/p)^p

En le disant vite et sans rentrer dans les détails, on constate que a^1/p est un nombre qui mis à la puissance p est égale à a.
Comme vous connaissez la racine carrée depuis la 3ème, il existe d'autre racine qu'on appelle racine n ième.
Par exemple, la racine cubique de 8 est égale à 2 car 2³=8


Ainsi, nous avons "presque" définit correctement les puissances rationnelles (pour être rigoureux, il faudrait passer par les suites et des limites).


Et maintenant, les puissance réelles ?

Et bien c'est justement cela qu'on appelle exponentielle. Il s'agit d'une puissance réelle d'un nombre qu'on appelle e. Ce qui donne une fonction qu'on appelle l'exponentielle.

e⁰=1
e¹=e

Pour tout réel x, on définit la fonction par: x |--> e^x (qu'on note dès fois Exp(x) ).

Cette fonction est croissante positive et sa dérivée est égale à elle-même à savoir:

Si j'appelle F(x)=Exp(x), F'(x)=Exp(x).

D'ailleurs, il y a une autre façon de définir la fonction exponentielle comme étant l'unique solution de l'équation différentielle suivante:

F'(x)=F(x) et F(1)=e

En espérant que cela vous aidera à mieux comprendre d'où vient cette fonction.

Bonne continuation!