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 Fonction logarithme népérien

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Juuliie5422
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MessageFonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 15:06
Bonjour,

Je suis actuellement en Term.ES et je bloque sur un Dm sur les logaritme népérien.

Voilà l'intitulé :

"Pour des questions d'approvisionnement, une société ne peut produire et commercialiser plus de 100 tonnes de tomates confites par an. Le bénéfice sur ce produit est donné par la fonction f définie sur l'intervalle [0;100] par : f(x) = 216x - x² - 4000ln([x+12]/12). C est sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

a) On admet que pour tout x de [0;100] : f'(x) = 216 - 2x - 4000/(x+12) . Montrer que, sur l'intervalle [0;100], le signe de f' est celui du polynôme P définis par P(x) = -2x² + 192x - 1408.

b) Etudier le signe de P(x) et dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [0;100]."

Voilà, d'autre questions suivent.

Mais le truc c'est que j'arrive pour la question a. Pour montrer que les signes de f' et P sont les mêmes il faut bien que faire la question b avant??

Sinon pour la questions b) où il faut étudier le signe de P(x) je ne suis pas sur de ce que j'ai fait :

Vu que P est une fonction polynôme du second degré j'ai calculer delta... :/ Ce qui donne : delta = 192² - 4*(-2)*(-1408) = 25600 racine de delta (de 25600) = 160 donc deux solution x1 et x2.

x1 = (-192-160)/384 = -11/12

x2 = (-192 + 160)/384 = -1/12

Après j'ai fait le tableau le tableau de variation qui en découle...et le signe de P(x) est strictement > à 0 sur [0;100].

Voila je ne sais pas trop ce que j'ai fait.. Je crois que j'ai tout mélanger... Sad((

POurriez vous m'éclairer un peu s'il vous plait...

Merci d'avance, bonne journée Smile

Julie
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 15:20
Bonsoir,

Drôle de présentation Wink mais très mathématique il faut l'avouer.

Pour montrer que deux fonctions on le même signe, il y a deux solutions en effet:

- Celle que tu proposes c'est à dire calculer le signe des deux quantités et montrer qu'il s'agit du même

- Celle qui suppose de s'apercevoir d'un signe évident dans un quotient et du coup de ne considérer que le signe du numérateur par exemple.

Et c'est la deuxième méthode ici qu'on souhaite appliquer car si tu cherches le signe de la dérivée, tu vas être amenée à étudier justement le signe du polynôme P qu'on te propose. Pour cela, il suffit d'écrire la dérivée sous la forme d'un quotient puis de regarder le signe du numérateur et du dénominateur pour conclure.

Bonne continuation et joyeux noël!
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Juuliie5422
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 15:37
Oui excusez moi pour la présentation je le ferai dans un prochain sujet Wink

D'abord merci pour votre réponse, donc si j'ai bien compris, il que je transforme la dérivée de f (216 - 2x - 4000/(x+12) ) sous la forme d'un quotient ? Et ça c'est pour la question a)?

Mais sinon pour la question b) ça va ?
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 15:49
Et bien le but étant de chercher le signe de la dérivée (dans l'objectif d'en déduire les variation de la fonction initiale d'ailleurs), il faut donc mettre la dérivée sous une fome où nous pourrons avoir accès à son signe justement.

Pour ce faire, il y a deux possibilité:

- Soit avoir un produit (via la règle des signes sur les produits, en prenant le signe de chaque facteur, on déduit le signe de la totalité du produit)

- Soit avoir un quotient (via la même règle, en prenant le signe du numérateur et du dénominateur, on déduira le signe du quotient).

Ici, la dérivée contient un terme qui est sous la forme d'un quotient, le plus simple est donc d'écrire la dérivée sous la forme d'un quotient puis de regarde le signe du numérateur et du dénominateur sachant que x est positif et inférieur à 100 par hypothèse.

Pour la question b), je ne suis pas d'accord pour les deux racines que tu trouves. En effet, d'où sort le 384 ? Sachant qu'ici notre coefficient dominant (c'est à dire le "a" dans a*x²+b*x+c) est égale à -2, je crois qu'il y a une erreur de manip ou de recopie là. De plus, trouver les deux racines négatives, aurait été un gros problème pour nous vu la coefficient dominant est négatif, cela aurait signifié que notre dérivée était négative sur [0,100] et non positive et donc que nous aurions une fonction décroissante ce qui est contraire à toute logique car plus on vend et plus on souhaite faire du bénéfice sinon, il n'y a pas d'intérêt de vendre plus Wink.

Je te laisse donc revoir la fin du b) et la totalité du a) mais rien de bien méchant, juste des histoires de calculs mais qui t'empêchent d'avancer pour l'instant.

Bonne continuation!
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Juuliie5422
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 15:56
Alors j'ai mis la dérivée de f sous forme de quotient... Est-ce juste ?

f'(x) = 216 - 2x - 4000/(x+12)

= (216[x+12])/(x+12) - (2x[x+12])/(x+12) - 4000/(x+12)

= (216x+2592)/(x+12) - (2x²+24x)/(x+12) - 4000/(x+12)

= (216x + 2592 -[2x²+24x] - 4000) / (x+12)

= (216x + 2592 - 2x² -24x -4000) / (x+12)

= (-2x² + 192x - 1408) / (x+12)

J'en déduis que la fonction est positive sur l'intervalle [0;100] ????:/
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Juuliie5422
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 16:00
Ah non!!!! pour étudier son signe on calcule delta pour le numérateur et x+12 = 0 donc x=-12.

Après dans un tableau de variation ? et on trouve les signes ? Je vais essayer cela!! merci beaucoup pour l'aide!!
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 16:07
Oulà!!!

On reste calme et posée et on respire 30 secondes voire plus si besoin Smile. Tout est juste.

Il faut juste prendre 30 secondes et regarder ce qu'on a au numérateur par rapport à P. Puis que peut-on dire du signe du dénominateur sur [0;100] ? Donc, le signe de la dérivée dépend exclusivement du signe de quoi ?

Pour le b), tout est bon aussi sauf la fin de ton calcul. En effet, les deux racines du polynôme ne ont pas exactes car tu divises par un nombre dont j'ignore l'origine d'ailleurs.

Bonne continuation et fais-toi confiance, tu as tout en main pour y arriver!
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Juuliie5422
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 16:28
Okay Bon je viens de tout reprendre....

question a) ... Après avoir mis f'(x) sous forme de quotient on arrive bien à f'(x) = (-2x² + 192x - 1408) / (x+12). A noter et à constater que le numérateur est égal à P(x) !! (Very Happy).

Ensuite.. le signe du dénominateur (x+12) est positif sur [0;100] ? c'est bien cela?

Mais du coup la dérivée dépend que du dénominateur non ?? Donc on "met de côté" le dénominateur et on constate que P(x) = f'(x) (2 même fonctions donc de même signe!!)... Est-ce cela ??



Question b) j'ai tout refait et oui en effet j'ai fait une GROOOOSSE erreur sur x1 et x2 !!!!!

Du coup x1 = (-192+160) / -4 = 8

et x2 = (-192-160) / -4 = 88

...réalisation du tableau de variation... P(x) est négative sur [0;8] et sur [88;100] mais positive sur ]8;88[...
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Alexis
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 16:48
Bonsoir,
Je me permets de déplacer ce sujet dans la section appropriée qui est "Exercices infaisables".

Cordialement,


Si vous voulez être sûr de me joindre rapidement : alexis@helpomaths.net

Crédit:
 

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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 17:27
Excellent tout ça !!!
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Juuliie5422
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 17:28
MERCIII POUR TOUT!!!!! :DDDDD
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Jeu 27 Déc - 18:01
Bon au niveau de la rédaction maintenant:

On ne peut pas écrire P(x)=F'(x) mais qu'ils ont le même signe car F'(x) est du signe de son numérateur (Numérateur/Dénominateur, le Dénominateur Descend)

On parle du signe de P(x) et non des variations de P(x).

Et la fin est bien les variation mais d'une fonction F. En effet, le signe d'un réel (donc de P(x) ou de F'(x) ) mais les variations d'une fonction (donc de P, de F, ....).

Bonne continuation!
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Juuliie5422
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Ven 28 Déc - 13:43
Daccord merci pour votre aide!!

Je vais tout reprendre.. En espérant arriver avec la suite de l'exercice, qui à l'air horriblement duuur!!!!!Shocked

Merci encore!
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Juuliie5422
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MessageEncore des logarithmes!!!   Mer 2 Jan - 10:56
Bonjour!!

Je reviens ........encore pour obtenir encore un peu d'aide!!!! :/

En faite il s'agit de tracer la courbe C (courbe représentative de la fonction f); unités graphiques : 1cm pour 5 en abscisses et 1cm pour 200 en ordonnées.

J'ai jamais su comment faire et je saurais jamais j'ai l'impression!!!! Sad(((

Je pense qu'il faudrait que je place grâce au tableau de variation que j'ai fait précédemment les point 8 et 88 en abscisse et en ordonnées??? en divisant ces 2 valeurs par 5 et 200??

Je suis complétement perdu, si vous pourriez me donner quelques pistes... :/

Merci d'avance et.... BONNE ANNEE!!!

Julie
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Mer 2 Jan - 13:13
Bonjour et bonne année 2013 !

La représentation graphique d'une fonction est assez difficile au début à cause du vocabulaire qu'il faut connaître et sans se planter de préférence. Ensuite, c'est que du bonheur.

Alors allons-y:

- Axe des abscisses: il s'agit de l'axe horizontale sur lequel on lit les valeurs "x"
- Axe des ordonnées: il s'agit de l'axe verticale (celui qui va vers le haut/O de Ordonnée) sur lequel on lit les valeurs "F(x)"

A partir de là, tracer la courbe représentant une fonction f revient à placer tous les points donc les coordonnées sont ( x , F(x) ).

Enfin, plus on prendra de valeurs dans l'ensemble de définition (c'est à dire les valeurs possible pour x) et plus il y aura de point de la courbe sur le graphique (et donc plus il sera facile de tracer la courbe).

Le tableau de variation est là, simplement pour te donner l'allure de la courbe (croissance, décroissance, minimum, maximum, changement de variation) mais ne te donne pas le courbe en elle-même. Il s'agit d'un guide en fait tout comme la règle permet de tracer la représentation d'une droite mais elle n'est pas une droite pour autant.

Bonne continuation!
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Juuliie5422
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Mer 2 Jan - 16:08
Merci pour votre éclairement!!

Mais waaa, je sais pas si ça va être que du "bonheur"!!! :/

Mais alors si je vous suis bien les valeurs que l'on à trouve 8 et 88 ne servent à rien ??
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Mer 2 Jan - 21:13
Bonsoir,

Et bien les valeurs qu'on trouve (8 et 88) correspondent à quoi concrètement pour la courbe ?
Elles correspondent à l'abscisse des points où il y a changement de variation. Du coup, elles nous servent à bien placer notre courbe (vu qu'on sait qu'il y a une tangente horizontale à cette endroit de la courbe avec un changement de variation).

Comme dit dans le message précédent, le tableau de variation nous donne l'allure de la courbe et donc les points stratégiques de celle-ci.

Ne pas utiliser la règle pour tracer une droite n'est pas recommandée. De même, ne pas se servir du tableau de variation pour s'aider dans le tracé de la courbe n'est pas recommandé.

Bonne continuation!
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Juuliie5422
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Ven 4 Jan - 10:15
Bonjour!



OULAA!! je ne comprend plus rien du tout!!!

Si on ne s'aide pas du tableau de variation pour tracer la courbe, alors on la trace comment ?????

Etpour placer 8 et 88, je les divise par 5 et 200??
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Ven 4 Jan - 11:55
Tu peux faire des divisions si tu le souhaites mais c'est juste une question de lecture là.

8 et 88 sont des valeurs de x et donc se liront tous les deux sur l'axe des abscisses.

Bon courage!
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Juuliie5422
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Dim 6 Jan - 10:59
excusez moi de vous redérangez toujours.. Mais sur l'axe des ordonnées je met quoi alors ?? f(Cool et f(88) ??

... et si j'ai bien compris, l'axe des abscisses représente les tonnes de tomates, et l'axe des ordonnées le bénéfice?



Edit by Alexis : Evitons les double-posts Wink
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Dim 6 Jan - 13:08
Bonjour,

En effet, sur l'axe des ordonnées, on lit les images des valeurs de l'axe des abscisses c'est à dire f(x).

En fait, il faut comprendre que chaque point de la courbe a pour coordonnées ( x , F(x) ). A partir de là, il n'y a plus rien à comprendre mais simplement à appliquer.

Bon courage!
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Juuliie5422
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Dim 6 Jan - 13:36
Daccord!

Merci beaucoup pour tout!!! Very Happy
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Alexis
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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Dim 6 Jan - 20:12
Bonne rentrée à vous Very Happy


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MessageRe: Fonction logarithme népérien   Dim 6 Jan - 21:42
Merci Alexis !

@toi aussi bonne reprise et à tous les autres d'ailleurs aller, une petite ligne droite avant la fin du second trimestre qui va vite arriver, d'ailleurs!
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Fonction logarithme népérien

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