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 [P] Probabilités-Variables aléatoires

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CoCygnus
TransAtlantic
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Message[P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 12:43
Probabilités-Variables aléatoires

I Vocabulaire


On considère une expérience aléatoire

Exemple: On lance un dé et on regarde la face supérieure

A l'aide de cette expérience, on obtient des issues

Ex: Issues possibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6

L'ensemble de toutes ces issues s'appelle l'univers noté Ω

Ex: Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}

On appelle événement toute partie de l'univers

Ex: A={2, 4, 6}
A est l'événement: "Obtenir un nombre pair"


Un événement qui ne contient qu'un seul élément s'appelle un événement élémentaire

Ex: B={3}

Ω est l'événement certain
∅ est l'événement impossible

A cet univers, on associe une probabilité p
Cette probabilité vérifie:
-0≤p(E)≤1
-p(Ω)=1
-p(∅)=0

-La probabilité d'un événement E est la somme des probabilités des événements élémentaires contenues dans E

Ex: p(A)=p({2}) + p({4}) + p({6})

On appelle événement contraire de A l'événement qui contient toues les issues n'appartenant pas à A. On note A- (on dit: A barre)

Ex: A-{1, 3, 5}

p(A-)=1-p(A)

On appelle union de A et B les éléments appartenant à A ou à B. On note AUB (on dit: A union B)

Ex: AUB={2, 3, 4, 6}

On appelle intersection de A et B les éléments appartenant à A et à B. On note A∩B (on dit: A inter B)

Ex: A∩B=∅

Diagramme de Venn:

p(AUB)=p(A)+p(B)-p(A∩B)

On dit qu'il y a équiprobabilité si toutes les probabilités des événements élémentaires sont égales

Ex: Si le dé est non pipé, il y a équiprobabilité. Toutes les probabilités des événements élémentaires sont égales à 1/6
p({1})=p({2})=p({3})=p({4})=p({5})=p({6})=1/6

p(A)=nombre de cas favorables/nombre de cas possibles

Ex: p(A=3/6=1/2


II Variable aléatoire

1) Première définition

Lorsqu'à chaque événement élémentaire d'une expérience aléatoire on associe un nombre réel, on dit que l'on définit une variable aléatoire.

Ex: On lance un dé. Si on fait 6, on gagne 3 euros, mais si on fait un autre chiffre, on perd 1 euro. on définit la variable aléatoire qui à chaque événement associe son gain (positif ou négatif). Les 2 valeurs de la variable aléatoire sont +3 et -1. Soit X cette variable aléatoire.
p(X=3)=1/6
p(X=-1)=5/6

xi______-1__+3
p(X=xi)_5/6_1/6


2) Deuxième définition


Définir une loi de probabilité d'une variable aléatoire, c'est donner toutes les probabilités des valeurs prises par X en général. On la donne sous forme de tableau (voir au dessus)


III) Espérance mathématique, variance et écart-type


1) Espérance mathématique

On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre noté E(X) tel que E(X)=Somme des (xi*p(X=xi))

Ex: D'après le tableau au dessus,
E(X)=-1*(5/6)+3*(1/6)=-2/6=-1/3


On dit qu'un jeu est équitable si l'espérance mathématique est égale à 0.

2) Variance

On appelle variance de la variable aléatoire X le nombre noté V(X) tel que: V(X)=Somme des (p(X=xi)*(xi-E(X))²)

Ex: D'après le tableau au dessus,
V(X)=(5/6)*(-1+(1/3))²+(1/6)*(3+(1/3)²)=(5/6)*(4/9)+(1/6)x(100/9)=(120/54)=(20/9)


3) Ecart-type


On appelle écart-type de la variable aléatoire X le nombre σ(X)=√(V(X))


Formules complémentaires:

E(aX+b)=a*E(X)+b

V(aX+b)=a²*V(X)

A-∩B-=(AUB)- (on dit: A barre inter B barre est égal à A union B barre)





Voilàààà! J'espère que j'ai été à la hauteur de vos revendications non présentes, mais que je sens dans votre esprit (il faut dire que c'est mon premier jour expert donc je sais pas si c'est exactement ce que ces messieurs les membres du staff voulaient...)

Toute copie totale ou partielle sans la permission de l'auteur est totalement interdite. © Helpo Maths 2012


Dernière édition par |☆Julia☆| le Jeu 6 Sep - 18:49, édité 1 fois (Raison : Revu et Corrigé)
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Alexis
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 12:50
C'est exactement ce qu'on veut Very Happy
Merci pour ce cours et félicitations.


Si vous voulez être sûr de me joindre rapidement : alexis@helpomaths.net

Crédit:
 

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Chap9
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 13:07
Très clair, bien présenté, bravo.




" Ils ne savaient pas que c’était impossible, alors ils l'ont fait. "

" On a toujours tort d'essayer d'avoir raison devant des gens qui ont toutes les bonnes raisons de croire qu'ils n'ont pas tort ! "

[Raymond Devos]
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CoCygnus
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 13:10
Merci cheers

Et si quelqu'un veut une explication sur le cours ou supplémentaire, il hésite pas, hein, surtout, il ne me contacte pas Laughing (Halte-là, les blaguounettes, passons aux choses sérieuses).

Donc, ceux qu'ont besoin d'aide, c'est mieux qu'ils me contactent par MP ou par des messages direct sur le fow'?




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Alexis
Super Admin
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 13:12
Par où ils veulent tant qu'ils comprennent xD
Mais ici comme ça tout le monde en profite Wink


Si vous voulez être sûr de me joindre rapidement : alexis@helpomaths.net

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Chap9
Administrateur
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 13:13
Il existe une fonction "demander un cours", ici les helpomathicien(ne)s demander un complément ou qqch de plus simplifier. ^^'




" Ils ne savaient pas que c’était impossible, alors ils l'ont fait. "

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[Raymond Devos]
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CoCygnus
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 13:18
Ok d'acc! Wink




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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 13:36
Bonjour,

Excellent cours! J'ajouterai juste pour ceux qui veulent aller plus loin qu'en fait p n'est autre qu'une fontion.

Comment ça une fonction ???

Et oui, vous avez surtout vu des fonctions définies sur des parties de !R ou sur !R tout entier, seulement il existe des fonctions qui sont définies sur des ensembles à un seul élément (qu'on appelle des singletons { . } ). Et donc p est exactement la fonction suivante:

p: P(E) -> !R
{ . } |-> p({ . })

où P(E) est l'ensemble des parties de l'ensemble E considéré

C'est pour ceux qui voudraient entrevoir l'unité mathématique des probabilités Wink.

Bonne continuation!
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CoCygnus
TransAtlantic
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 13:40
Merci beaucoup pour ce petit approfondissement, Mrrire! Je crois que notre prof de maths nous en avait parlé X)




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Nita
Posteur Acharné
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Age : 18
MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 17:49
C'est trop cool, ces cours. Je vais tous les lire et les apprendre, comme ça je serais en avance sur les gens de ma classe Smile
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Лĩѕѕ☆Jυļĩα
Administrateur
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 19:47
je rajouterais bien les formules en notation sigma ... c'est tellement plus simple ...

joli cours !



Admin : Cours rajouté à l'index


Un problème avec votre compte ?? Vous avez constaté un bug sur le forum ? Besoin d'un renseignement ?? Contactez moi !

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CoCygnus
TransAtlantic
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 19:57
D'accord avec toi pour les sigmas, Julia, mais c'est impossible en mode numérique Surprised




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Лĩѕѕ☆Jυļĩα
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Dim 18 Mar - 20:05
ne t'inquiète pas pour ça ... je vais me débrouiller Wink


Un problème avec votre compte ?? Vous avez constaté un bug sur le forum ? Besoin d'un renseignement ?? Contactez moi !

julia@helpomaths.net


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Kinder
Animateur
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MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Ven 30 Mar - 9:48
Citation :
p(AUB)=p(A)+p(B)-p(A∩B)

Je précise que ceci est le théorème de Poincaré l'original étant: p(AUB)+p(A∩B)=p(A)+p(B) (ça n'apporte rien à part une touche culturelle et puis il est français alors Razz)


Spoiler:
 


Dernière édition par Kinder le Ven 30 Mar - 9:50, édité 1 fois (Raison : Oubli)
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CoCygnus
TransAtlantic
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Messages : 828
Age : 20
MessageRe: [P] Probabilités-Variables aléatoires   Ven 30 Mar - 14:22
Après, moi, je sais pas, c'est notre prof de maths qui nous a donné cette formule, qui, maintenant, me semble tellement logique, après que la classe entière se soit rétamée à un exercice où y avait ça dedans X)




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